Malditos momentos

Momento de fuerza
Y ahora en español latino, para liarla aún más

El viernes pasado, en la última de mis Píldoras de Fenyman, comenté cómo la terminología científica tiene en ocasiones poco que ver con el habla cotidiana. Una de los términos que comenté ha resultado ser particularmente dañino para mis alumnos, y mira que les advertí de que esto pasaría.

Se trata del término momento. En Física, los momentos son una cosa muy distinta a esa idea que tenemos de momento en cuanto a instante. Se trata de una definición muy concreta. En realidad, son varias las cantidades que reciben el nombre de momento, y además todos los momentos son distintos entre sí.

En matemáticas el momento de un vector es una operación entre vectores. Imaginemos que en un punto se define un vector A, y que el vector de posición (el que va del origen de coordenadas a ese punto) es r. El momento del vector A respecto a ese punto es igual a rxA, donde “x” denota un producto vectorial. Ese momento es a su vez un vector, y por supuesto tiene dirección, sentido y módulo. El módulo es el producto del módulo de r por el módulo de A por el seno del ángulo que forman; la dirección es perpendicular al plano que forman los vectores (r, A); y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

Si no ha entendido bien la definición no se preocupe; lo importante es que hay una definición concreta y matemáticamente bien hecha. Ahora a lo que nos ocupa. Resulta que algunas cantidades vectoriales tienen efectos distintos según en qué punto se apliquen. Como ejemplo, intente abrir una puerta. Dependiendo de dónde ponga la mano le costará más o menos esfuerzo. Eso significa que la fuerza permitirá abrir la puerta más rápido o menos según donde la aplique, y es el motivo por el que conviene usar cantidades basadas en momentos de vectores.

Supongamos que la partícula que nos interesa está en un punto caracterizado por un vector de posición r. Aplicamos una fuerza F en ese punto. Bien, pues resulta que la cantidad directamente responsable de un cambio en la rotación de la partícula es el producto vectorial rxF. Ese vector, representado por la letra gruega τ es el momento de fuerza, o más correctamente, el momento de la fuerza respecto al punto escogido (en este caso, el origen de coordenadas). Si aplicamos la mismas fuerza en otro punto, o en otra dirección, o si escogemos otro punto origen de momentos, el momento de fuerza cambia.

Por otro lado, hay una cantidad vectorial que da pie a una ley de conservación para la rotación. Esta cantidad es L=rx(mv) y recibe el nombre de momento angular; bueno, vale, momento angular respecto a un punto.

Aquí comenzamos a tener motivos para confundirnos. Cuando hablamos de energías podemos enumerar muchas de ellas: cinética, potencial, química, eléctrica, etc. Todas ellas pueden transformarse unas en otras, todas son cantidades de la misma magnitud y todas pueden expresares en las mismas unidades (julios en el Sistema Internacional). Los momentos no. Son distintos y tienen unidades distintas. El momento de fuerza se mide en Newtons*metro; el momento angular, en kg*m2/s. Ambos momentos no tienen por qué ser paralelos, ni siquieran tienen que coexistir. Y ojo, porque el producto Newton*metro es julio, pero el momento de fuerza NUNCA se mide en julios porque es una cantidad vectorial y no escalar. En cualquier caso momento de fuerza y momento angular sólo se parecen en el nombre.

¿Por qué dos bichos tan distintos llevan el mismo nombre? Podríamos pensar que es porque ambos se definen mediante un momento de vectores, es decir, son del tipo rx(algo). Lo que no tiene en mi opinión excusa ni justificación es lo que viene a continuación. El resultado de aplicar un momento de fuerzas (τ) es producir una aceleración angular (α). La expresión que liga ambas cantidades es algo compleja, pero en muchos casos puede escribirse como τ=Iα. Y aquí entra nuestro tercer momento . I es el momento de inercia del cuerpo (más bien, el momento de inercia respecto a un eje). Esa cantidad depende de la masa del cuerpo pero también de cómo está repartida respecto a un eje.

La diferencia más importante es que el momento de fuerza es un vector, el momento angular también, pero el momento de inercia es otra cosa. Si los vectores τ y α son paralelos, la relación es del tipo τ=Iα, donde I es un escalar, un número para entendernos; pero si no es así I será algo más complicado que un vector. En general I es lo que se llama tensor momento de inercia. Para entendernos, si un escalar es un número y un vector son tres números (las componentes x, y, z), un tensor viene dado por una matriz 3*3, es decir, nueve componentes. Sea un escalar o un tensor, el momento de inercia tiene dimensiones de masa por distancia al cuadrado, es decir, se mide en kg*m2; y repito, NO es un vector.

O sea que tenemos ya tres momentos: de fuerza, angular y de inercia. ¿Les apetece que sigamos para póker? Pues en efecto, hay otro momento más, y este es el menos defendible de todos. A fin de cuentas, los dos momentos vectoriales τ, L, se definen matemáticamente como momentos; mala elección, porque “momento” significa otra cosa en matemáticas (se habla de los momentos de una distribución, por ejemplo), pero si así quieren que así sea. El momento de inercia I es distinto, pero también depende de distancias entre un cuerpo y un eje así que podríamos cogerlo por los pelos.

El problema es que a algún espabilado le inspiró la similitud que hay entre el momento angular L en rotación y una cantidad similar en traslación que se denota con el vector p y que no es sino el producto mv, el vector masa*velocidad. Antiguamente a esa cantidad se la conocía con el nombre de cantidad de movimiento, expresión que siempre me ha gustado porque, aunque algo pachanguera, es muy descriptiva. Pero resulta que p da pie a un teorema de conservación para el movimiento de traslación, al igual que L lo hace para la rotación, así que alguien pensó algo así como “bueno, si a L le llamamos momento angular, a p podríamos llamarlo…”

Dicho y hecho: ahora p recibe el nombre de momento lineal. ¡Momento lineal! Si no es un momento desde el punto de vista matemático y ni siquiera depende de un punto o una recta, ¿por qué demonios hay que ponerle momento lineal de nombre? ¿Qué le hemos hecho a ese desalmado desconocido para que nos odie tanto?

Acudir al diccionario lía aún más las cosas. La RAE suele asociar el término momento con un lapso de tiempo muy breve (si bien también incluye el momento de inercia, el de movimiento y el de fuerza, todos correctamente). Por el contrario, “momentum” guarda en el idioma inglés relación con lo que nosotros llamaríamos ímpetu (movimiento violento, fuerza). Cuando un objeto rueda por una rampa nosotros decimos que gana velocidad; para los angloparlantes gana “momentum” Para mayor lío, al momento de una fuerza (o par de fuerzas) los usamericanos lo llaman “torque”, cosa que a veces se traduce por “torca” (y que no tiene nada que ver con lo que la RAE considera que es una torca).

Y puesto que todo lo que hacen y dicen en EEUU enseguida tiene reflejo en el resto del mundo, no es de extrañar que los alumnos se confundan de términos al estudiar el movimiento de rotación. Si antes dije que tanto lío ha sido dañino para mis alumnos es porque el pasado miércoles les puse el siguiente problema en el examen:

Una esfera maciza y uniforme, con una masa de 3,5 kg y un radio de 24 cm, gira a 2.200 rpm (vueltas por minuto). ¿Qué momento de fuerza sería necesario para detener su giro en ocho segundos?

El momento de fuerza en este caso es τ=Iα=IΔω/Δt. Dados el radio y la masa puede obtenerse el momento de inercia de la esfera I, y puesto que tenemos Δω (de 2.200 rpm a cero) y Δt (8 segundos), no hay más que pasar todas las cantidades al Sistema Internacional sustituir y ya tenemos dos puntos en la saca. Por desgracia, muchos alumnos leían “momento” y su mente les llevaba a otros lugares. Unos creían que pedía el momento angular L, otros se liaban entre uno y otro, y el resultado es que muy pocos han logrado resolverlo correctamente.

No sé quién será el tío que popularizó toda esta la terminología de los momentos, pero espero sinceramente que arda en el infierno. A fuego lento.

 

(Por cierto, la respuesta era 2,23 N*m; un aplauso para los pocos que se dieron cuenta que el signo correcto era negativo)

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