Física con Excel: el interior de la Tierra (2)

En la primera parte de este post (El interior de la Tierra 1) vimos cómo se podía calcular la densidad de la Tierra en función de la distancia al centro. Básicamente se trata de modelar el planeta como una cebolla con capas, de la forma ρ(r)=ar2+br+c, donde (a,b,c) son constantes distintas para cada capa de las cuatro que consideramos a efectos de sencillez (núcleo interno, núcleo externo, manto, exterior).

Conocer la densidad es el primer paso para hallar la masa. Como en el caso anterior, vamos a dividir la Tierra en capas de grosor constante (yo he escogido 20 kilómetros de grosor, pero podéis cambiarlo vosotros). Bien, recordaréis que la densidad es igual a la masa dividida por el volumen, ρ=M/V, de forma que la masa de una capa sería en principio M=ρV. Por supuesto, hay trampa, porque cuando yo digo en  clase “en principio” significa que la cosa no es tan sencilla.

Hacer M=ρV presupone que toda la capa tiene densidad constante, y no es así, ya que hemos visto que la densidad depende de la distancia. Lo que tendríamos que hacer es dividir nuestra capa de 20 km. en capitas de grosor muy pequeño dr. Cada una de ellas tendrá una masa dM=ρdV. A continuación, sumamos la masa de todas esas capitas y ya tenemos la masa de la capa completa. Como veréis, estamos usando cálculo integral.

Bien, puesto que estamos usando coordenadas esféricas y suponemos simetría esférica, podemos expresar el volumen dV de cada capita como dV=4πr2dr. Esto nos dará un volumen dM=ρdV=(ar2+br+c)4πr2dr=4π(ar4+br3+cr2)dr. Integramos y obtenemos la masa de una capa esférica de radio inferior r1 y radio exterior r2:

La siguiente cuestión es escoger los parámetros (a,b,c) en función de cuál es la distancia al centro. Las filas 4, 5 y 6 de nuestra hoja de cálculo contienen esos parámetros para el núcleo interno (columna E), núcleo externo (columna F), manto (columna G) y exterior (columna H); las filas 3 y 4 indican el radio interior y exterior de dichas capas. Es decir, E7 y E8 son los radios interior y externo del núcleo interno, y lo mismo con los demás.

Para comprobar que la distancia (que tenemos en la columna A) está en, digamos, el núcleo interno, hemos de comprobar que es una cantidad mayor que E7 y menor que E8. Digamos que nuestro valor de distancia está en la celda A20. ¿Cómo se incluyen las condiciones A20>E7 y A20<E8 simultáneamente? Vimos algo de álgebra booleanas en el anterior Física con Excel, así que partamos de ahí. Primero veamos las dos condiciones por separado:

SI(A20>E7;1;0) da 1 si A20 es mayor que E7, y 0 si es menor que E7

SI(A20<E8;1;0) da 1 si A20 es menor que E8, y 0 si es mayor que E8

Podríamos combinar ambas condiciones de la siguiente forma:

SI(A20>E7;1;0)*SI(A20<E8;1;0) da 1 solamente si se cumplen ambas condiciones, es decir, E7<A20<E8.

Ahora bien, existe una forma más sencilla de combinar dos proposiciones lógicas. Reconozco que yo no la sabía hasta que me puse a escribir este post; es lo bueno de escribir, que aprendes un montón. Una forma equivalente de expresar lo anterior es así:

SI(Y(A20>E7;A20<E8);1;0)

El “Y” significa que se han de cumplir ambas condiciones, es decir, que A20>E7 y que A20<E8; de otro modo sale cero. Vamos a pulirlo un poquito más, y como lo que queremos es copiar y pegar en una columna es mejor ponerlo así:

SI(Y($A20>E$7;$A20<E$8);1;0)

Sigamos avanzando. Lo que queremos no es obtener el número 1 sino la masa de la capa. Vamos a comenzar haciendo A19=0, A20=20km, A21=40km y así hasta 6.470 km. ¿Cómo, que el radio de la Tierra es de sólo 6.371 km? Pues en ese caso pondremos una limitación: si el radio se pasa de 6.371 kilómetros forzamos a la distancia a quedarse en ese valor.

Para cada valor del radio r, vamos a calcular la masa de la capa esférica con radio entre r-Δr y r (nuestro Δr es, recuerdo, 20 km, pero podemos cambiarlo). Esa masa se obtendría mediante esta relación:

4*PI()*(E$4*($A20^5-$A19^5)/5+E$5*($A20^4-$A19^4)/4+E$6*($A20^3 $A19^3)/3)

donde E$4, E$5 y E$6 son los valores (a,b,c) para el núcleo interno. Lo podemos combinar con el SI booleano que hemos visto de dos formas:

SI(Y($A20>E$7;$A20<E$8);1;0)*4*PI()*(E$4*($A20^5-$A19^5)/5+E$5*($A20^4-$A19^4)/4+E$6*($A20^3 $A19^3)/3)

o bien su equivalente

SI(Y($A20>E$7;$A20<E$8);4*PI()*(E$4*($A20^5-$A19^5)/5+E$5*($A20^4-$A19^4)/4+E$6*($A20^3 $A19^3)/3);0)

Eso en lo que toca al núcleo interno. ¿Y si la distancia nos lleva al núcleo externo? En ese caso habría que sumar una segunda condición con los datos del núcleo externo. Quedaría la cosa tal que así:

SI(Y($A20>E$7;$A20<E$8);4*PI()*(E$4*($A20^5-$A19^5)/5+E$5*($A20^4-$A19^4)/4+E$6*($A20^3 $A19^3)/3);0)+

SI(Y($A20>=F$7;$A20<F$8);4*PI()*(F$4/5*($A20^5-$A19^5)+F$5/4*($A20^4-$A19^4)+F$6/3*($A20^3-$A19^3));0)

donde ahora tenemos los parámetros (a,b,c) del núcleo externo en las celdas  F$4, F$5 y F$6. Para el manto y el exterior haríamos lo mismo. Fijaos que aunque suena muy complejo no es más que copiar y pegar, y esa es la comodidad de hacerlo en una hoja de cálculo.

Almacenaremos la masa de todas esas capitas de 20 km de espesor en la columna D, y ya puestos vamos a calcular en la columna E la masa acumulada de toda la Tierra del centro a una distancia r, sin más que ir sumando los términos de D.

Hay una pequeña pega en lo que he desarrollado hasta ahora, y es esta: suponemos que nuestra capa de 20 km. está en una sola de las capas principales, es decir, no está a caballo entre el núcleo externo y el manto, por ejemplo. La primera vez que hice la prueba usé capas de 100 km de espesor, y la diferencia se notaba. Por eso he rebajado ese espesor a 20 km. Sigue habiendo una diferencia pero el error es pequeño, un 0,3% de diferencia, así que ya nos vale.

Ya estamos listos para copiar y pegar las celdas A19 (distancia) y B19 (masa de la capa) a las demás filas. Por supuesto, la primera capa tiene un radio cero, así que forzamos B19=0. ¿Qué tal si hacemos una gráfica? Pongamos la distancia al centro en el eje X y la masa de cada capa de 20 km en el eje Y. Para comparar, incluyamos también el resultado correspondiente a una Tierra de densidad constante. En ese caso resulta sencillo, y los datos los guardaremos en la columna C.

He aquí el resultado:

El modelo de tierra constante (línea azul) es creciente porque una capa esférica aumenta de volumen, y por tanto de masa, con el radio. El modelo de capas y densidad no constante (línea roja) también crece, y además se notan las diferencias de densidad. La frontera entre núcleo interno y núcleo externo, a unos 1.220 kilómetros, es apenas discernible, pero se ven claramente las discontinuidades al pasar del núcleo externo al manto (3.480 km) y al pasar del manto al exterior (5.700 kilómetros).

Vamos a ver también la masa acumulada, es decir, sumando la masa de todas las capitas hasta una distancia r. También aquí vamos a compararlo con el resultado para una Tierra homogénea de densidad cosntante, datos que guardaremos en la columna F. Aquí está el resultado:

En ambos casos la gráfica termina en la masa total de la Tierra, unos 6*1024 kg, pero como vemos el modelo de masa no constante (línea roja) crece más rápidamente al principio. En ambas gráficas lo que vemos es reflejo del hecho de que las capas interiores son más densas que las exteriores, y por tanto su masa es mayor.

Vamos a ir un paso más allá. De modo similar a como la masa relaciona la fuerza con la aceleración, hay una cantidad llamada momento de inercia que relaciona la causa con la consecuencia en una rotación (la causa es el momento de fuerza y la consecuencia es la aceleración angular, pero aquí no importa). Podemos hacer un razonamiento similar al anterior para determinar el momento de inercia de cada capita de 20 km, de las cuatro grandes capas y del planeta en conjunto. Si os interesa tenéis los datos correspondientes en las columnas G (acumulado, Tierra homogénea), H (acumulado, Tierra no homogénea) e I (por capas, Tierra no homogénea).

Pero no nos interesa tanto detalle. En lugar de eso, vamos a ver el momento de inercia de las cuatro grandes capas (núcleo interno, núcleo externo, manto, exterior) para los dos casos habituales: Tierra constante y con densidad no constante. ¿Por qué? Pues porque tengo una interesante aplicación en mente. En la película El Núcleo (The Core, 2003), los protagonistas han de salvar la Tierra. Resulta que el núcleo externo de la Tierra ha dejado de girar.

En un post de 2010 dije que, aunque el gobierno norteamericano intentaba mantener el secreto por todos los medios, en realidad hasta el ciudadano más tonto se habría dado cuenta de que algo iba mal. ¿Por qué? Pues porque hay una cantidad llamada momento angular que debe conservarse. Esa cantidad L, es igual al producto Iω, donde I es el momento de inercia del cuerpo y ω su velocidad angular. También podemos ponerlo como L=2πI/T, donde T es el período de rotación.

Si el núcleo externo deja de rotar entonces su momento angular se hace cero, y para que el momento angular se conserve el resto de la Tierra ha de girar más rápido. ¿Cuánto más rápido? Veamos primero el caso de Tierra homogénea. En lugar de usar unidades del Sistema Internacional voy a mostrar la contribución de cada capa al momento de inercia total de la Tierra en tanto por ciento. Este es el resultado, que tenéis en la hoja de cálculo, celdas J13 a M13:

Núcleo interno: 0,02 %

Núcleo externo: 4,61 %

Manto: 50,05 %

Exterior: 45,51%

El núcleo externo tiene un momento de inercia que es un 4,61% del total, lo que significa que el resto de las capas deberá girar un 4,61% más deprisa. Eso significa que el período de rotación disminuye en esa cantidad, pasando de las 24 horas habituales a unas 22,9 horas. Creo que estaremos de acuerdo en que, si los días pasasen a tener una hora y pico menos menos nos daríamos cuenta todos.

Aprovecho para hacer una corrección. Tanto en mi entrada de 2010 como en mi libro Física de Hollywood  calculé la diferencia como un 6% en lugar del 11,3% anterior. Me avergüenza reconocerlo pero cometí un error bobo. Qué le vamos a hacer, quien tiene boca se equivoca.

Pero en cualquier caso los datos anteriores se refieren a una Tierra homogénea. Si la Tierra real, con capas, tiene el núcleo más denso que el exterior la consecuencia sería una disminución del momento de inercia, y en consecuencia un día cercano a las 24 horas. En las celdas J11 a M11 tenemos los datos correctos, suponiendo un planeta de densidad no constante según el modelo PREM. Los resultados son estos:

Núcleo interno: 0,07 %

Núcleo externo: 11,30 %

Manto: 55,43 %

Exterior: 33,20%

Las diferencias más apreciables son una disminución en el momento de inercia del exterior, y un aumento de las demás. En particular la contribución del núcleo externo pasa del 4,6% al 11,3%, más del doble, y pasaremos de 24 horas a 21 horas y media aproximadamente. ¡Esto empeora! Tomar modelos de la Tierra más realistas no hace sino hundir todavía más la credibilidad científica de la película El Núcleo; tampoco es que tuviese mucha para empezar, pero bueno, es lo que hay.

Aún hay más tela que cortar en el interior de nuestro planeta, pero lo dejaremos para otro día. Ya hemos girado bastante. Tomaos un buen descanso, jugad con la hoja de cálculo si queréis y hasta la próxima.

[Hoja de cálculo disponible: Interior de la Tierra 2]

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