Física con Excel: la ecuación del cohete

Post NO patrocinado por SpaceX (invita a algo, Elon, majete)

Cuando en Estados Unidos quieren decir que algo no es tan complicado, la expresión que usan es “no es ciencia de cohetes” (it´s no rocket science). Allí la NASA tiene reputación de conseguir lo imposible y de llegar más allá que nadie, a estilo Star Trek pero con burocracia, así que la ciencia de cohetes se considera puntera donde las haya.

Y sin embargo, el principio básico del cohete es muy sencillo: Tercera Ley de Newton. Un avión lanza aire caliente hacia atrás, y avanza hacia delante. Un cohete hace lo mismo, sólo que el oxígeno se sustituye por una materia comburente. Dicho comburente, junto con el combustible, provocan una reacción química que expulsa gas a gran velocidad; como resultado, el cohete sube.

Ahora bien ¿cuál es la estrategia óptima para conseguir el máximo empuje? ¿Depende de la masa del cohete, de la cantidad de combustible, de la velocidad de salida de los gases? ¿Importa si quemamos mucho combustible al principio y poco al final, o al revés?

Vamos a suponer, para empezar, que la velocidad de salida de los gases respecto al cohete es ve. También supondremos que el cohete, de masa inicial m0, está casi todo compuesto por combustible y comburente, es decir, el material que se convertirá en gases expulsados. Para no tener que meter integrales, y también para entender mejor los conceptos, partamos de este supuesto adicional: TODO el gas sale disparado a la vez. Puesto que ese gas forma casi el 100% del cohete, podemos verlo al revés, es decir, el gas se queda quieto y es el cohete sale disparado.

Ese caso sería como si un elefante escupiese una semilla de sandía a velocidad ve. En ese caso el elefante es la masa de gas, y la semilla es el cohete. Está claro que la velocidad del cohete respecto al gas es ve, y que va a ser el cohete (la semilla) lo que se mueva.

Ahora supongamos que todo ese gas se expulsa no de una vez, sino de dos veces. Tenemos dos enormes encendidos del motor, en el primero se gasta el 50% del combustible (a partir de ahora diré “combustible” en lugar de “combustible y comburente”), y en el segundo se gasta el otro 50%.

Durante el primer encendido, el 50% del gas sale disparado en un sentido y el resto (el otro 50% mas el cohete) en sentido opuesto. Ambas mitades se separan a velocidad relativa ve; pero como tienen aproximadamente la misma masa, su velocidad absoluta respecto a un observador en reposo sería la mitad. Después, durante el segundo encendido, el gas empujará al cohete, que ya tenía una velocidad debida al primer encendido.

Es como si tuviésemos dos elefantes que se empujan mutuamente en un lago de hielo (y no sé cómo pueden estar sobre un lago de hielo, pero hagamos un esfuerzo de imaginación). Uno de los elefantes tiene la pepita de sandía. Cada elefante, si tienen la misma masa, sale despedido a velocidad ve/2. A continuación el elefante con la pepita la escupe. La pepita abandona al elefante a velocidad ve, pero como el elefante ya se movía a velocidad ve/2, la velocidad de la pepita respecto al observador fijo es ve/2+ve=1,5ve. Sólo con eso, la velocidad de salida final de la pepita aumenta un 50%

¿Podemos calcular el proceso para más elefantes? O dicho de otro modo, ¿qué pasa si en combustible se libera en N explosiones súbitas, en lugar de una sola? Tendríamos que repetir el argumento anterior una y otra vez… ah, espera, que tenemos una hoja de cálculo.

Vamos allá. Vamos a suponer un cohete con masa total m0, inicialmente en reposo (v0=0). Esa masa se compone del cohete, con masa m1, y N cargas de combustible de masa m cada una, cada una de las cuales explotará simultáneamente y liberará una masa  m de gases, que abandona el cohete a velocidad relativa ve. Justo antes de la  n-ésima explosión la masa y velocidad del cohete son (Mn-1,vn-1), y tras la explosión pasan a valer (Mn,vn). Basta aplicar la ley de conservación del momento lineal, y obtendremos la relación vn=vn-1+(m/Mn)ve.

Pues dicho y hecho. Nuestra hoja de cálculo tiene varias columnas. La columna A contiene el valor de n; luego viene las masas antes y después de la explosión; después las velocidades antes y después de la explosión; finalmente, el último valor de v-final nos da la velocidad alcanzada por el cohete tras soltar todo su combustible.

Cuando el número N de explosiones tienda a infinito tendremos un cohete de verdad, en el que se está quemando combustible de forma continua en lugar de en N saltos. En realidad, el tratamiento matemático estándar utiliza diferenciales de masa, ecuaciones en derivadas y tal. Yo he preferido hacerlo de otro modo y luego hacer el paso al límite. Veréis que en la hoja el número máximo de explosiones, es decir, de liberaciones súbitas de gas. Os incluyo aquí los datos para N=100 y N=500. Supondremos una velocidad del gas ve=1 y un cohete de masa total m0=100, donde la masa del cohete es m1=1 (es decir, el 99% del cohete es combustible).

Como veis, en ambos casos las primeras explosiones aceleran la nave muy poco, ya que a fin de cuentas la masa de ésta (el casco mas todo el combustible no gastado) es mucho mayor que la del gas quemado. Ahora bien, conforme el cohete se va aligerando su velocidad cambia más y más.

Tiene sentido si volvemos a la ecuación de Tsiolkivski vn=vn-1+(m/Mn)ve. Al principio, para n pequeños, Mn es mucho mayor que m así que el término (m/Mn)ve es muy pequeño. Conforme pasa el tiempo el cohete se aligera, Mn decrece y el término (m/Mn)ve es cada vez mayor. En el último 10% del tiempo (aproximadamente) la velocidad crece tanto como en el 90% restante. Es una carrera donde cuesta arrancar.

Pero hay otra diferencia interesante en ambas gráficas. Si bien cuando N=500 el cohete tarda más en arrancar, la velocidad final es superior: ve=4,51 para N=500 frente a 4,19 para N=100. Eso significa que, cuanto mayor sea el número de explosiones, tanto mejor porque el cohete acabará con mayor velocidad final.

¿Cuál es el límite para N infinitamente grande? Podríamos ir probando con valores de N cada vez mayores (y ojo, para N>500 tendréis que ampliar la hoja vosotros), pero no es necesario. En 1903 el científico ruso Konstantin Tsiolkovski resolvió el problema, y resulta que la velocidad final tiene esta expresión: v=ve*ln(m0/m1), donde “ln” es el logaritmo neperiano.

En este punto confieso que este artículo debería llamarse Física con Excel: la ecuación de Tsiolkovski, pero sabía que a algunos os sonaría a nombre raro y lo mismo no estaríais leyendo esto. Sí, es una sutil táctica de “clickbait”. Y ahora, con mis disculpas al señor Tsiolkovski, sigamos adelante.

Para nuestros datos (m0=100, m1=1, ve=1), saldría una velocidad igual a 4,605, que aparece en la celda C8 de la hija. Es decir, 4,605 será la velocidad del cohete cuando quema gases en forma controlada y continua.

Esta ecuación puede ampliarse y modificarse. Por ejemplo, los cohetes suelen estar compuestos de varias etapas. Primero se quema el combustible de la primera etapa, y luego se tira esa etapa; luego se hace igual con la segunda etapa, y en su caso con la tercera. La idea es tirar las partes del cohete que no te hacen ya falta. De ese modo aligeramos peso y ganamos eficacia.

Por supuesto, también podemos hacer que la velocidad ve sea distinta para cada etapa; o que sea variable, aunque en ese caso lo mejor es conseguir que ve sea lo más alto posible. Esto último es lo más relevante para alcanzar elevadas velocidades. Fijaos de nuevo en la ecuación v=ve*ln(m0/m1). Los cohetes actuales ya son casi todo combustible, y aumentar esa cantidad (digamos del 99% al 99,5%) nos daría una velocidad sólo un pelín mas alta. Ahora bien, v depende linealmente de ve, y ahí es donde habría que trabajar si queremos que nuestro cohete vaya veloz cual gacela cósmica. Es decir, si queremos llegar lejos la táctica ganadora no es cargar más gasofa sino lanzar los gases más velozmente.

Hay motores iónicos que pueden conseguir valores de ve más elevados que el combustible químico tradicional. Eso sí, la cantidad de materia (ya no gas sino iones) que expulsa por segundo es menor, de forma que hay que mantenerlo en funcionamiento durante mucho más tiempo, y eso es otro problema. Los cohetes actuales funcionan a lo bestia durante pocos minutos, así que cambiar el chip y saltar a motores menos potentes pero funcionando durante más tiempo es difícil.

Eso no puede conseguirse durante el despegue, ya que ahí necesitamos potencia, mucha potencia, y para eso va bien el pepinazo tradicional; pero en el espacio, a lo largo de millones de kilómetros, el empuje iónico serviría para llegar a destino lento pero seguro; o más bien diremos tardón pero rápido. La tecnología de propulsión iónica ya se ha probado en sondas como la japonesa Hayabusha o la norteamericana Smart, que llegaron hasta el asteroide Itokawa y el asteroide Ceres, respectivamente.

Y por cierto, se usó hace mucho tiempo en una galaxia muy lejana. Los aficionados a la saga Guerra de las Galaxias saben que los cazas imperiales, esos que básicamente son una pelota con dos paneles laterales, se conocen en inglés como Tie Fighters o “cazas tai”. TIE, por lo visto, significa Twin Ion Engine (motor doble de iones). ¿A que mola?

[Hoja de cálculo disponible: Ecuación del cohete]

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